Octubre

NÚMEROS COMPLEJOS 

DEFINICIÓN. Se llama número complejo a todo par ordenado (a, b) de números reales tomados en cierto orden. Ejemplos: (5, –2), (3, 1/6), (7, –9).

Donde los números reales a, b se llaman componentes del número complejo, es así que a se denomina primer componente; y b se denomina segunda componente.

Unidad real: Se tiene como 1 = (1, 0), donde b = 0

Unidad imaginaria: se le denomina al nuevo número . Se denota por la letra i. 

                                  Se tiene como i = (0,1)  , donde a = 0

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS

Igualdad: dos números complejos son iguales solo cuando tienen la misma componente o parte real y la misma componente o parte imaginaria.

Ejemplo: (8, 2) = (2³, 2^1/2), por que 8 = 2³ y 2 = 2^1/2.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se representan en los ejes cartesianos, El eje X se denomina eje real  y el eje Y se denomina eje imaginario. El plano donde se representan los números complejos se denomina plano complejo o de Gauss.

El número complejo a + bi se representa mediante el punto (a, b), que se llama su afijo, o mediante un vector (flecha) de origen (0, 0) y extremo (a, b)   

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir dos números complejos es otro número complejo, que se obtiene del siguiente modo:

Si (a, b) y (c, d)  son números complejos se define:

- Suma:  

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

- Resta:

(a+ bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

- Multiplicación:  

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

- El producto de un número complejo, c + di, por su conjugado, c – di, es siempre un número real. 

  (c + di) . (c – di) = c² – cdi + cdi + d² = c² + d²

- División: 

    

 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

- La suma de los números complejos cumple las propiedades  asociativa y conmutativa.

- El cero es elemento neutro de la suma.

- La multiplicación de los números complejos cumple las propiedades  asociativa y conmutativa.

- El uno es el elemento neutro de la multiplicación.

- Todos los números complejos, a + bi, tienen un inverso 1/(a + bi), menos el cero.

- La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

- Todas las propiedades de los números reales se pueden aplicar a los números complejos.

PROPIEDADES DEL CONJUGADO Y DEL MÓDULO DE UN COMPLEJO

EJERCICIOS

LUGARES GEOMÉTRICOS

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Una función compleja de variable compleja $f$ definida sobre un conjunto $D$ de números complejos es una función que asigna a cada número complejo $z$ ∈D otro número complejo $w$ = f(z) y la representamos con la notación $f$ : D→ℂ.

El conjunto $D$ se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de $f$. Igualmente, el conjunto de las imágenes de $f$ se llama imagen de $f$.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

No es posible representar f(z), ya que se requiere de R(4), pero es posible otras opciones como las siguientes:-

Representa la Re[f(z)]
Representa la Im[f(z)]
El módulo de f(z): |f(z)|
El argumento principal:

Transformaciones del plano complejo

Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo.

LÍMITES

CONTINUIDAD

La función evaluada en ese punto debe existir

El límite cuando  la función tiende a dicho punto debe existir.

La función evaluada en el punto de análisis y el límite cuando la función tiende a dicho punto deben ser iguales.

Si el límite no existe la continuidad es inevitable.

Si el límite existe pero la función en ese punto no existe o si el límite no es igual a la función evaluada en ese punto la discontinuidad es evitable.

Por tanto se puede redefinir, para transformar la ecuación en continua.

DERIVACIÓN

FUNCIONES ANALÍTICAS

FUNCIONES ARMÓNICAS

FUNCIONES BÁSICAS

FUNCIÓN EXPONENCIAL

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Bibliografía:

• http://www.academica.mx/sites/default/files/adjuntos/136985/complejosteorico.pdf
• http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/fundamentosmatematicosi/ejercicios-resueltos/Bloque1_NumerosComplejos.pdf
• http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C02_Funciones_complejas.pdf
• http://corcoles.org/uoc/anmat/es/es32.xml